Symmetric_hexagons

Συμμετρικά εξάγωνα

Κάθε συμμετρικό εξάγωνο h=(ABC...) δέχεται μιά εγγε- (c1) και μιά περι- (c2) γεγραμμένη κωνική (*).
α) Όταν το h είναι κυρτό, τότε οι κωνικές αυτές είναι ελλείψεις. Όταν δεν είναι κυρτό, είναι υπερβολές.
β) Για κάθε σημείο Ρ της c2, το κωνικό πολύγωνο Poncelet c(P), εφαπτόμενο της c1 είναι επίσης συμμετρικό.
γ) Υπάρχει ομογραφία απεικονίζουσα το μοναδιαίο-κανονικό-εξάγωνο στο h και τους αντίστοιχους εγγε- και περι- γεγραμμένους κύκλους στα c1 και c2 αντιστοίχως;
δ) Πότε είναι οι δύο κωνικές c1 και c2 ομοθετικές ως προς D; Είναι αλήθεια ότι o r = sqrt(3)/2 είναι ο μοναδικός δυνατός λόγος ομοθεσίας;

Το δεύτερο παράδειγμα, παρακάτω, δείχνει ότι τα [κωνικά εξάγωνα] έχουν επίσης εγγε- και περι- γεγραμμένες κωνικές και ότι οι κωνικές αυτές είναι ομοθετικές. Για τις κωνικές αυτές είναι επίσης ενδιαφέρον να γνωρίζουμε πότε είναι συμμετρικές.

(*) Μια απλή απόδειξη: δείξε ότι ο πίνακας με γραμμές τις εκφράσεις:
{x^2, xy, y^2, x, y, 1}, όπου αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες των 3 σημείων (xi,yi) και των αρνητικών τους (-xi, -yi), έχει μηδενική ορίζουσα. Τούτο οδηγεί στην ύπαρξη της περιγεγραμμένης κωνικής. Η άλλη ύπαρξη της εγγεγραμμένης προκύπτει από τον δυϊσμό.

Δείτε το θέμα γιά ειδικά συμμετρικά εξάγωνα στο αρχείο: Symmetric_Hexagons_Special.html

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/